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预备知识 电场的高斯定律，磁场的高斯定律，安培环路定律（静磁学）
在本文中，我们总结一些静电场与静磁场的基本性质。此处所谓 “静”，指的是系统的状态不随时间变化，例如，电荷、电流、电场等等的强度与分布都是恒定的。注意，此处 “静” 与 “静止” 的含义不完全相同，不代表没有电荷流动（电流），只是说明电荷流动的速度是均匀的，所谓 “稳恒电流”。
1. 电荷、电流与电荷守恒
电荷
什么是电荷？按照 Landau 富有深意的话来说，电荷是 “粒子与电磁场相互作用的强度”。不过，对于初学者来说，你只要知道电荷同质量一样，也是粒子/物质的一种性质。之所以引入电荷的概念，是因为人们发现物质间除了有源于质量的引力交互作用外，还有另一种交互作用，其强度与质量无关、但与物质的另一种性质有关。人们把这种性质称为 “电荷”，这种交互称为 “静电力”。
当电荷是离散分布时（例如，我们熟知的点电荷模型，对应 “质点”），我们可以描述每一个点电荷所带电荷量 $q_i$；而当电荷是连续分布时（例如，一个处处带电的物体，对应 “刚体”），我们更喜欢使用电荷密度，即单位体积的电荷量 $\rho = \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{V}} $。
电流
当（大量）电荷定向运动起来，就会产生电流1。电流可由电流强度 $I$ 与电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 表述：
表1：电流强度与电流密度
电流强度 $I$：“单位时间通过截面的电荷量” $I = \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} $
电流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $：“单位时间单位面积通过的电荷量” $$I = \oint \boldsymbol{\mathbf{j}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } ~$$ $$ \boldsymbol{\mathbf{j}} = \frac{\mathrm{d}{I}}{\mathrm{d}{S_\perp}} \hat n~$$ $$ \boldsymbol{\mathbf{j}} = n e \boldsymbol{\mathbf{v}} ~$$其中, $n$ 是载流子（载流子是电荷的载体）的体积数密度，$e$ 是每一个载流子的电荷量，$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是载流子的速度。
电荷守恒
同质量一样2，电荷是守恒的。也就是说，如果一个区域内有电荷的流出(电流)，那么这个区域内的电荷量就会相应地减小。
$$
\oint \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \int \rho \,\mathrm{d}{V} \qquad \sum_i I_i = - \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} ~,
$$
其中，$ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 是电流密度，$\rho = \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{V}} $ 是电荷密度，$I>0$ 表示流出该区域的电流，否则是流入的电流。上式的微分形式为
$$
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0~.
$$
在静场条件下，空间中的电荷密度以及电流密度都不随时间变化，所以有
$$
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0 \qquad \sum_i I_i = 0~.$$
这个结论还被称为基尔霍夫第一定律。
2. 静电场与静磁场
图 1：电荷与电流分别在一个截面上产生的电场与磁场示意图。CC 0
众所周知，电荷与电流会在他们周围分别产生电场与磁场。下表反映了电荷、电流与他们所产生的电场、磁场之间的联系：
表2：静电场与静磁场
电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $
场源 电荷 $q$ 电流 (运动的电荷) $I$
场源产生的场 $$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} } ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{ \,\mathrm{d}{q} }{R^2} \boldsymbol{\mathbf{\hat R}} ~ $$
不大严格地说，$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} } $ 是由单个小电荷 $ \,\mathrm{d}{q} $ 产生的电场。
$$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} } ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} }{R^2}~$$ 毕奥—萨伐尔定律；$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} } $ 是由一小段电流 $I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} $ 产生的磁场。3
线性叠加原理
$$ \boldsymbol{\mathbf{E}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \int \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{E}} } = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \frac{ \,\mathrm{d}{q} }{R^2} \boldsymbol{\mathbf{\hat R}} ~ $$ 由于相应的方程是线性的，因此如果空间中有多个电荷，他们导致的总电场是各个电荷产生的电场的和。
$$ \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \oint \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{B}} } = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \frac{I \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} '} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} }{R^2}~$$
散度方程
$$\oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \frac{1}{\epsilon_0}\int \rho \,\mathrm{d}{V} = \frac{Q}{\epsilon_0}~$$
$$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \frac{\rho}{\epsilon_0}~$$ 电场的高斯定律
$$\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = 0~$$
$$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} = 0~$$ 磁场的高斯定律
旋度方程
$$ \oint \boldsymbol{\mathbf{E}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~$$
$$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~$$ 静电场的环路定理，基尔霍夫第二定律 的一种表述。
$$\oint \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = \mu_0 \int \boldsymbol{\mathbf{j}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } =\mu_0 I ~$$
$$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~$$ 静磁场的环路定理（专业术语：安培环路定律）
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是场点，$ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 是场源位置，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 是场源指向场点的矢量，$ \boldsymbol{\mathbf{\hat R}} $ 是相应的单位矢量。 $\epsilon_0$，$\mu_0$ 分别是 “真空介电常数” 与 “真空磁导率”（按照 griffiths 的说法，这两个常数的名称具有误导性，你只需要知道他们是两个常数就行）。
为什么有了漂亮的 “场源产生的场”，还需要（微分形式的）散度与旋度方程？尽管二者可以互相 “推导”，但是散度与旋度方程仍具有（潜在的、理论意义上的）优势：
在具有某些对称性的情况下，使用散度与旋度方程能避开繁杂的积分、更易于解题；
散度与旋度方程是 “局域性” 的描述，而局域性是经典物理所偏好的。按照 Feynman（的厚厚的《物理学讲义》）的话说，散度与旋度方程告诉我们（静场情况下）某处电磁场的改变只与该处的电荷、电流密度有关；
在非静场情况下，散度与旋度方程在添加一些项后仍然适用，但是 “场源产生的场” 需要经过大幅修正；
容易从散度与旋度方程中导出势的概念；而如今，势被认为是更基本的物理量。
3. 电（标）势与磁矢势
基于数学与物理意义上的考量，我们可以引入势的概念。有时使用势的概念，会比场更为简洁、深刻。
表3：电（标）势与磁矢势
电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 磁场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $
势 $$\varphi~$$ 电势，标量函数 $$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ~$$ 磁矢势，矢量函数
势与场 $$ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi~$$ $$ \varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \int^{ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0}_{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } ~ $$ ($ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 是零势参考点，一般选取无穷远处势为 0，具体参考下文的“规范”) $ \boldsymbol{\mathbf{B}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~$
势的任意性，“规范” $$\varphi += \lambda~$$ $\lambda$ 是常数 $$ \boldsymbol{\mathbf{A}} += \boldsymbol\nabla \lambda~$$ $\lambda$ 是标量函数。基于此，$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的取值可被控制
场源导致的势
$$\varphi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V} '~.$$ (假定无穷远处势为零)
$$ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{j}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')}{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \right\rvert } \,\mathrm{d}{V'} ~.$$ (假定取规范 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$)
势的方程 $$\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}~$$ (假定无穷远处势为零) $$\nabla^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = - \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~$$ (取规范 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$)
势的定义
引入势的数学考量是（详见 [1] 与 “矢量分析总结 ”）：
如果一个场无旋，那么他可以写成一个标量函数的梯度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{F}} = - \nabla \varphi$；
以及如果一个场无散，那么他可以写成另一个场的旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \Rightarrow \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} $。
静电场和磁场天然分别满足这些条件，因此可以分别定义电势与磁势。
物理上的考量参考 “电势、电势能 ”。
从电场-电势的关系很容易看出，静电场其实只有一个自由度 $\varphi$，而非看起来的三个 $(E_x, E_y, E_z)$。
势的任意性
由于电荷直接感受到的是场而不是势(见下"洛伦兹力")，所以只要能得到相同的场，势的取值具有一定的灵活性。例如，由于 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla \varphi$，即使势加上一个常数后，仍有 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = - \boldsymbol\nabla (\varphi+\lambda) = - \boldsymbol\nabla \varphi - \boldsymbol\nabla \lambda = - \boldsymbol\nabla \varphi$，即相应的电场也不会变化。因此，电势总可以相差一个常数而不改变 “实质性结果”。这就有点像我们做不定积分时，总会得到一个积分常数 $C$；或者对函数求导时，常数项不会改变导函数。
选取常数的方法称为 “规范”，根据相应的场合，我们会选取恰当的规范以简化计算。在静场中，我们一般令电势在无穷远处为零，并让磁势满足 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} = 0$。
势的方程
将势的定义代入 Maxwell 方程组，并辅以数学技巧，就可以得到相应势的方程。例如对于电势4：
$$
\left \{
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{E}} &= - \boldsymbol\nabla \varphi\\
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} &= \frac{\rho}{\epsilon_0}\\
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\boldsymbol{\nabla}^2 \varphi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}
~.
$$
磁势也是同理，但是需要更巧妙地运用数学技巧 与规范，具体证明过程按惯例留给读者：
$$
\left \{
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{B}} &= \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} \\
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{B}} &= \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} \\
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} &= 0\\
\end{aligned}
\right.
\Rightarrow
\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = -\mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}}
~.
$$
由于磁势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是一个矢量，所以磁势的方程其实包括三个标量方程（直角坐标系）：
$$
\nabla^2 \boldsymbol{\mathbf{A}} = - \mu_0 \boldsymbol{\mathbf{j}} ~
\Rightarrow
\left \{
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}^2 A_x = -\mu_0 j_x\\
\boldsymbol{\nabla}^2 A_y = -\mu_0 j_y\\
\boldsymbol{\nabla}^2 A_z = -\mu_0 j_z\\
\end{aligned}
\right.
~.
$$
场源导致的势
原则上，"场源导致的势"是相应势的方程的解，但这么做就慢了。根据电场的性质、势的定义、以及电势与积分路径无关的性质，就能轻松得到"电荷导致的势"，这也是我们在高中和大物里了解的方法：
$$\varphi = \int \boldsymbol{\mathbf{E}} \cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{l}} } = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}~,$$
并推广为连续形式
$$\varphi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho}{R} \,\mathrm{d}{V} '~.$$
根据磁势方程与电势的类似性，类比就能得到"电流导致的磁势"。如此操作避免了求解偏微分方程的困难。
图 2：源->势->场
4. 洛伦兹力
一个点电荷在电磁场中的受力由洛伦兹力公式给出：
$$
\boldsymbol{\mathbf{F}} = q ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )~.
$$
注意该式中并不包含点电荷静止或匀速运动时自身产生的电磁场。但当点电荷做非匀速运动时会产生辐射（即电磁波），而这个辐射又会反过来作用在点电荷上面。从能量守恒的角度来说，电荷产生辐射损失了能量，所以动能必定会下降，所以它的辐射对自身的力整体上必然是一个阻力。不过在一般情况下，我们假定这个辐射的功率足够小，使得该效应可以忽略不计。
对于连续分布的电荷，我们描述单位体积（“一小块”）电荷所受的洛伦兹力。相当于上式两边 “同除以” $ \,\mathrm{d}{V} $。
$$ \boldsymbol{\mathbf{f}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{F}} }}{\mathrm{d}{V}} = \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{V}} ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} ) = \rho ( \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )=\rho \boldsymbol{\mathbf{E}} + \boldsymbol{\mathbf{j}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} ~.$$
1. ^ 有时，我们假定电流伴随着异号静止电荷，因此电流总体上不带静电荷，也不产生电场。
2. ^ 防杠声明：严格来说，在相对论中是质量-能量守恒。
3. ^ 不同于静电场中可以任意摆放电荷，在静磁场中我们不能“任意摆放”电流，而必须使电流成环，或者延伸到无穷远处。假如设计的“电路”不成环，那么根据电荷守恒，区域内的电荷密度必定变化，从而不再是静场问题。这也是为什么这个公式实际上不能准确描述“单个运动电荷的磁场”。
4. ^ 为什么 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 的方程不见了？因为在引入电势概念时，我们已经用到了这个方程：任意标量函数的梯度的旋度始终为零：$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol\nabla \varphi) = 0$。
参考文献
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4ed
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